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韩新芳博客----冠县贾镇联合校

三人行,必有我师焉

 
 
 

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【转载】对分析数学思维过程的若干思考 朱乐平  

2015-12-31 08:47:40|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自冠县教育局李月莹博客《对分析数学思维过程的若干思考 朱乐平》

一、什么是数学思维?

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。这里的数学对象主要是指数量关系、空间形式和结构关系。数学思维结构是一个多因素的动态关联系统,它主要包括:数学思维的内容;数学思维的基本形式;数学思维的方法;数学思维的个性品质。

二、什么是数学思维活动的教学?

数学思维活动的教学就是要揭示或展现蕴含在学习数学知识中的丰富多彩的思维活动过程。在这个过程中,教师要根据学生的思维特点,通过自己的思维加工,向学生揭示出前人发现问题、分析问题和解决问题的思维过程。使所有的学生品尝发现和创造数学知识的那种“滋味”,体会成功的喜悦和失败的痛楚。实施数学思维活动的教学就是要使学生明确要解决的主要问题,问题产生的实际背景与过程,涉及的旧知识,得到的新成果(问题的解答);使用的语言(符号或术语)与方法,得到的新方法;成果(知识与方法)的应用等。数学思维活动教学的目的是要变知识储备型教学为智力开发型教学,变知识型人才的培养为素质型人才的培养。

数学思维活动教学涉及四种思维活动:数学家、教材编者的思维活动(它或隐或现地存在于课本中),数学教师的思维活动和学生的思维活动。数学家、教材的编者的思维活动以教材为媒介对教学过程产生影响,是数学教学活动的隐蔽参加者。这种反映在知识中的成熟的数学思维活动是学生要学习的思维活动,也是成功的思维活动。教师通过自己创造性的思维活动,在数学家、教材编者与学生思维活动之间、学生的已有知识与面临的问题之间架设桥梁。揭示数学家、教材编者与学生的数学思维活动过程的能力是数学教师重要的教学能力。成功的数学思维活动教学要实现数学家、教材编者、数学教师与学生四者思维活动的和谐统一,四者思维活动关系如下:

 

数学家(教材编者)的思维活动

文字渗透教材

数学教师的思维活动

小学生的思维活动

上课

备课

激发

复原

 

分析数学思维过程是数学教师在教学活动中最重要、最本质的活动。事实上教师平时的备课、上课、改作和辅导等教学过程都是在分析数学的思维过程。

备课,从本质上说是在分析数学家、数学教材的作者的数学思维过程,分析学生的思维特征和制定学生学习的“程序”。我们平时说的“理解编者的意图”,就是分析作者的思维过程。我们在教学某一个较抽象的内容时,考虑用直观教具,实质上是在分析学生的思维特征后所确定的。在新课程实施的今天,有人认为,不需要再“理解编者的意图”。这是误解。教师当然可以大胆地处理教材,根据分析和自己班级的情况决定教学的程序,但在备课时,要阅读数学教材,试图理解编者的意图,依然是重要的。现在数学教材的编者常常是一个群体,它们对数学、数学教育都有着自己的理解,都想尽可能地把教材编好,把教材编得有利于教师的教和学生的学,都想提高数学教育的效率,提高下一代公民的数学素质,理解他们编者的意图,自然有价值。我们不要把教材捧为“圣经”,不管执教的教师理解或者不理解,都要按照教材教;我们也不要只顾自己想,而不试图去理解编者的意图,我们不要走向一个极端。

教师在上课时,常常不断地提出问题,学生积极地动脑回答各种各样的问题。或由学生自己去提出问题,教师根据学生提出的问题或回答的内容不断地分析小学生的数学思维活动,达到指导、调节、学生的思维,使得学生的数学思维与成功的数学思维“同步”,从而发展学生的思维能力,并获得数学家数学思维活动的成果(数学知识)。通过这一过程逐步实现学生的思维活动、数学家(教材的编者)的思维活动老师的思维活动的和谐统一。

答疑、改作业、辅导等教学活动,从本质上说也是在分析小学生的数学思维过程,帮助学生发现思维过程中的错误,总结思维规律、方法和技巧。

只有当教师有较强的分析数学思维过程的能力,才能在课堂上很好的利用前面的分析成果,也只有不断地实践、反思积累分析数学思维过程的经验,不断应用于课堂,创造多者思维过程相统一的环境才能使数学课堂和谐。

分析数学思维过程就是要“拉长”数学思维活动的过程,通过这个“拉长”产生“慢镜头”,其目的是为了强调思维过程,充分暴露思维过程。小学数学教学要从比较展开的思维向比较压缩的思维过渡。思维的压缩主要指省略了一些思考步骤,简化了一些中间环节。我们还要注意,对同一个数学问题,由于人们考虑问题的角度和原来头脑中储存信息的不同,在解决问题时,常常会有不同的思维过程。

人们在解决数学问题时的思维过程是一个复杂的过程。由于直觉思维的存在,我们常常会对自己的思维过程都比较难的作出实事求是的陈述和正确的分析,更不要说对别人的思维过程作出科学的论述。但数学教师在数学教学中的活动又无一不是围绕着分析数学思维过程而展开。因些我们要尽力去做,去探索出一些分析的方法,去积累分析的经验,以便更好地理解、调控学生的思维过程,尽可能提高他们的数学素质。这就是我们探讨思维过程分析的意义。

 

三、如何看待思维的过程和结果?

思维的过程与结果同样重要。不能简单地说过程重要或者结果重要,如果有人问:是结果重要还是过程重要,正好像有人问:是左边的这只眼睛重要,还是右边的眼睛重要一样。但是在涉及到一节课时,可能会在教学目标上有所侧重,这节课可能会更强调过程,强调经历,强调体验,这样的课常常是探索性比较强的课。而有一些课,可能在目标上更侧重于知识与技能的掌握。或者是更注重学习某种方法等等。目前的情况是,有些人常常要求一节课既要强调过程,重视探索,又要基础知识和基本技能的落实,这在一节课中比较难做到,这样的要求可能实际上不是很现实的。当一节课注重了过程,就说基础知识与技能落实不够,把后者作为这节课的缺点,是不合情理的。事实上,只要去直接面对小学生去上课,就会感觉到,强调过程与落实双基的矛盾依然存在。所以,我的观点是不要对一节课求全责备。这好像人吃东西,今天中午可能吃肉,吃的是猪肉,这时候不会有人责怪说:为什么不吃牛肉?!其实,每一种肉都有自己的营养价值,今天可以吃这种肉类,这种蔬菜,明天可以吃另外的肉类和蔬菜,但从总体上说,营养是均衡的。学生的学习也一样,各种学习方式都会有自己的长处和不足,学生的学习需要经历各种方式。这节课在强调过程上更加侧重一些,更加重视一些,而下一节课可能是双基的落实做得更好一些,但从总体上说,学生的“营养均衡”。

四、如何处理好探究和完成知识目标之间的关系。

课有多种类型,我的一些关于新知识探索性的课,比较强调过程,强调学生的经历和体验。在探究方面,我常常会设置一些相对有难度的问题,让学生去研究。在课上,我试图少说话,少提出问题,因此,提出的问题会“大”一些,难一些,对于数学问题的探索,未知领域的研究,需要有一定的意志和毅力,我希望学生能够面对一个相对难度较大的问题,能够有较长的时间去想,去做,而不是我的问题一出,学生就举手如林。在这里,数学成绩相对比较强的学生,可能会体验到成功的喜悦,而那些数学能力相对比较弱的学生可能会品尝到失败的教训,无论是成功,还是失败都是学生的经历,都是财富。对于能力弱的学生来说,在自己感受到没有能够解决问题后,就更要去倾听同伴或老师的发言,努力去弄懂自己不懂的知识,学会自己不会的技能。但无论如何,在一节探索性很强的课中,总会有个别的学生觉得难,没有能在上课时理解知识或学会技能,这样就需要有另外一些课型来解决,或者课外作适度的辅导。我在上练习课时,还是要不断地让学生练习,尽可能有兴趣地练习。在练习课上,要考虑每一个学生的个人劳动量,要计算落实到每一个学生个人身上的有多少个题目。对于数学思维能力比较弱的学生更要多关注,更需要有一定量的练习。要重视分析解决问题的思维过程,与这些能力相对比较弱的学生一起归纳出一些解决问题的程序,然后让这些学生按照这个程度进一步练习。如:在分数的意义教学中,常常用一类题目是:让学生根据所给图形和的阴影部分或空白部分的大小,写出分数。对这一类题目就要静下心来分析解决问题的思维过程,我会有耐心地与数学能力比较弱的学生一起,通过解决问题归纳出思维过程。如:用分数表示下列阴影部分的大小: 解决这类问题的思维过程可以是:(1)要等分;即首先要看所给出的图形是不是平均分,如果不是平均分,就要看一看,有没有办法平均分。如果有办法,就要平均分。如果所给出的图形已经平均分,那么就不需要再去分。(2)共分几份;即在等分的前提下,要数一数或算一算,一共平均分成了几份,这个数出或者是算出的数,就是要写出的这个分数的分母。也就是分数线下面的这个数。(3)表示几份。即要看一看所要表示的有几份,所要表示的可能是阴影部分,也可能是空白部分或某一个指定的部分。表示的有几份,也可以数一数或算一算。这个数出或算出的数就是要写的分数的分子。这样的思维过程需要与数学能力比较弱的学生一起归纳,然后要求他们按照这个过程进行练习。学生只要做出一步,就要表杨他们,就要鼓励他们。慢慢地学生就能独立地,正确地解决这类问题。在我们的新教学中,如果也能象这样尽可能地分析出过程中的每一步,这样对于学习数学相对有困难的学生来说,就会有较大的帮助。

五、如何从数学研究的角度分析数学的思维过程?

每一门科学都有自己研究的独特程序,数学也不例外。数学研究的程序通常是:观察→猜想→验证→证明→应用。即数学的研究从观察开始,仔细地观察现实世界,考察数学的对象,观察到某种事实;然后大胆地进行猜想,初步得到某种结论,再用个别例子对结论加以验证;如果验证表明结论是正确的,那么就进一步考虑理论证明;结论获得理论证明后,就设法推广、应用。这既是数学研究的一般程序,也是数学家思维活动的过程。因此,从数学研究的程序入手可以分析出数学家思维活动的过程。数学教学希望学生的数学思维与这一科学的思维过程同步。因此,分析这一思维过程和小学生的思维特点,就可以制订出比较合理的教学程序。

例1、圆锥体体积公式的教学:

教学开始,出示图1,已知圆柱体的底面积为S,高为h,求出体积V=Sh;出示图2,比较图2这个几何体与圆柱体的体积的大小,说出为什么图2这个几何体的体积比圆柱体的体积要小?猜测图2这个几何体的体积是圆柱体的几分之几?类似于上述过程,对图3作出猜测。最后出示图4,比较圆锥体的体积与它等底等高的圆柱体体积的大小,并猜测圆锥体体积是圆柱体体积的几分之几?学生作出不同的猜测后,提出问题:怎样才能知道哪个同学的猜测是比较正确的呢?教师可以让学生去操作,验证,即用空心的圆锥体和与它等底等高的空心圆柱体,用沙或米、水等东西进行度量,验证后得出:圆锥体的体积等于与它等底等高的圆柱体体积的三分之一。然后再加以应用。

上述圆锥体体积公式的得出过程,体现了学生观察、比较、猜想、验证等思维过程。整个过程比较自然,这样的教学程序比较充分地暴露了学生的思维过程,体现了数学研究的一般程序。而这一教学程序的制订建立在分析数学思维过程的基础之上。没有思维过程的分析,就不可能制订这样的教学过程。

又如探索三角形内角和的教学,我们也来分析解决这个问题的思维过程。

一般的教材都给出了上面这样的两个图,把图5这个三角形撕开,拼到右边这个平角上(图6),由于一个平角是180度,所以三角形内角和也是180度。这是一个数学上解决问题的思路。如何要转化成教学的过程,把这一静态的数学内容要转化成为一个动态的探索过程,我们可以问下面的问题:

1、在这里把一个三角形的三个角撕下来拼到一个平角上去,这是一种直接度量的方法,用重叠的方法进行比较,学生有没有这种比较的思想?在以前的教材或教学中,有过这方面的学习或训练吗?或者我们可以进一步问:现在要求学生把三个角撕下来拼在一起与一个角去比较,在以前的教学中,有过一个角与另一个角去重叠比较大小的吗?有过两个角撕下来拼在一起与一个角用重叠的方法比较大小吗?

2、学生怎么才能想到拼到一个平角上去,而不是拼到一个直角上去呢?换句话说,学生怎么才能想到三角形三个内角的和可能是180度,而不太可能是90度呢?

提出上面这样的问题正是在分析数学的思维过程。事实上,对于上面的第一个问题,我们原来的教材和教学在这方面有过一点铺垫,但这种铺垫是不够的。一般的教材是在认识直角时,有过一些直接用重叠的方法比较大小,那就是用三角板上的直角去判断另一个角是不是直角。而至于要把两个角撕下来拼在一起,再与另一个重叠比较大小,常常没有这样的铺垫。而在探索内角和时,却要求学生把三个角撕下来拼在一起与一个平角比较,这样的背景下进行教学,并且想要让大多数学生想到这种方法,恐怕不是很现实,或者说,不可能有比较多的学生能够想到这种方法,而我们有些教学只要一两个学生想到了这种方法,教师就认为学生已经解决问题了,老师马上会说,这个同学的方法很好,其余的同学就照着这个同学的方法做,这是把一两个学生的数学思维灌输给其他大多数学生。这样的教学要使多数学生体验到自己发现的快乐,体验到成功是不现实的。

我去上三角形内角和这节课时,是先作思想方法上的铺垫,出示下面的图7与图8,让学生猜测两个角的大小,猜测后问:怎样才能知道猜测得是否正确?进而得出:一是用量角器量;二是把两个角重叠在一起;这两种比较的方法。再出示下面的图9与图10,问∠3与∠4+∠5的和谁大谁小。得出量和撕下来拼在一起去比较的方法。

上课的过程大至是:出示上图11,要求学生观察、猜测这个∠1大约是多少度,学生猜测后,进一步问,如何能知道猜测得是否正确,学生会想到用量角器量这个角,让每一个学生都动手量,这时发现,大家尽管量的是印出来同样大小的角,但量出的度数不同。进而教师告诉学生,由于度量是有误差的,所以可能会相差一点,这是正常的。进一步出示图12,观察并、猜测∠1+∠2=?在学生观察、猜测后,与前一步一样再度量,并承认误差。出示图13,观察、猜测、度量∠1+∠2+∠3=?一般来说,多数学生度量后会得出∠1+∠2+∠3=180度,得也会有一些学生度量出的度数不是180度,有的可能大于180度,有的可能小于180度。这时教师启发学生,如果三角形三个内角的和是一个固定的值,我们全班想形成一个猜想,三角形三内角的和是多少度?由于多数学生量出来是180度,所以会形成:“三角形三内角的和是180度”的猜想。如何来验证这个猜想呢?三个角的和到底是不是180度呢?启发学生与一个平角去比较。这时的联想建立在“三角形三内角的和可能是180度”,“一个平角是180度”这两点之上。又有了前面的复习铺垫,多数学生会想到,把三角形的三个内角撕下来,拼在一起与一个平角去比较。然后就是巩固与应用。

上述教学过程的设计也是建立在分析数学思维过程基础上的,而知识的探索过程基本上遵循了数学研究的程序:观察→猜想→验证→应用,这样的一个过程。

六、 如何分析解题策略、解题方法和解题思路背后的思维过程?

解题策略是对解题途径的概括性认识。“以退为进”“正难则反”“整体入手”都是数学中重要的解题策略,每种解题策略都有自己的思维模式和思维过程。下面介绍一种“以退为进”的解题策略。

一张长方形纸片的左下角挖去一个圆形纸片(如图1),请作出一条直线,把长方形纸片分成面积相等的两部分。

解题过程:

1)              先后退,从复杂到简单。如果没有挖去一个小圆形,通过长方形对角线交点的直线能把长方形分成面积相等的两部分。(如图2)

2)              如果单独是一个圆,那么通过圆心的任意一条直线就能把圆分成面积相等的两部分。(如图3)

3)              再前进,从简单到复杂。综合以上两种思维过程,就是既通过长方形的中点又通过圆心的直线就能把长方形纸片分成面积相等的两部分。

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